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894 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

2
∂ T ≅ T i l +1 +1 − 2T i l +1 + T i l −1 +1 (30.7)
∂x 2 (∆ x) 2
que tiene una exactitud de segundo orden. Cuando esta relación se sustituye en la EDP
original, la ecuación en diferencias resultante contiene varias incógnitas. Así, no puede
resolverse explícitamente mediante simples manipulaciones algebraicas, como se hizo
al pasar de la ecuación (30.4) a la (30.5). En lugar de esto, el sistema completo de ecua-
ciones debe resolverse simultáneamente. Esto es posible debido a que, junto con las
condiciones de frontera, las formulaciones implícitas dan como resultado un conjunto
de ecuaciones lineales algebraicas con el mismo número de incógnitas. Por lo tanto, el
método se reduce a la solución de un sistema de ecuaciones simultáneas en cada punto
en el tiempo.
Para ilustrar cómo hacer lo anterior, sustituimos las ecuaciones (30.3) y (30.7) en la
ecuación (30.1), para obtener

T l+1 − 2 T l+1 + T l+1 T l+1 − T l
k i+1 i i−1 = i i
(∆ x) 2 t ∆
que se expresa como
l+1 l+1 l+1 l
i–1
i+1
–lT + (1 + 2l)T – lT = T i (30.8)
i

2
donde l = k ∆t/(∆x) . Esta ecuación se aplica a todos los nodos, excepto al primero y al
último de los nodos interiores, los cuales deben modificarse para considerar las condi-
ciones de frontera. En el caso donde están dados los niveles de temperatura en los extre-
mos de la barra, la condición de frontera en el extremo izquierdo de la barra (i = 0) se
expresa como
l+1
l+1
T = f (t ) (30.9)
0
0
l+1
donde f (t ) = una función que describe cómo cambia con el tiempo la temperatura de
0
la frontera. Sustituyendo la ecuación (30.9) en la ecuación (30.8), se obtiene la ecuación
en diferencias para el primer nodo interior (i = 1):
l+1
l+1
l
l+1
(1 + 2l)T – lT = T + lf (t ) (30.10)
2
1
0
1
De manera similar, para el último nodo interior (i = m),
l
l+1
l+1
l+1
–lT + (1 + 2l)T = T + lf (t ) (30.11)
m–1
m m m+1
l+1
donde f m+1 (t ) describe los cambios específicos de temperatura en el extremo derecho
de la barra (i = m + 1).
Cuando se escriben las ecuaciones (30.8), (30.10) y (30.11) para todos los nodos
interiores, el conjunto resultante de m ecuaciones algebraicas lineales tiene m incógnitas.
Además, el método tiene la ventaja de que el sistema es tridiagonal. Así, es posible uti-
lizar los algoritmos de solución extremadamente eficientes (recuerde la sección 11.1.1)
disponibles para sistemas tridiagonales.
EJEMPLO 30.2 Solución implícita simple de la ecuación de conducción del calor
Planteamiento del problema. Con la aproximación por diferencias finitas implícita
simple resuelva el problema del ejemplo 30.1.
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