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30.5 ECUACIONES PARABÓLICAS EN DOS DIMENSIONES ESPACIALES 901

i = 1 i = 2 i = 3 i = 1 i = 2 i = 3
FIGURA 30.11
El método IDA da como j = 3
resultado ecuaciones
tridiagonales solamente j = 2
si se aplica a lo largo
de la dimensión que es j = 1
implícita. En el primer paso
a), se aplica a lo largo
de la dimensión y; en el a) Primera dirección b) Segunda dirección
segundo paso b), a lo largo y
de la dimensión x. Estas
“direcciones alternantes”
son la razón del nombre del x
método.

que, cuando se escribe para el sistema, da como resultado un sistema tridiagonal de
ecuaciones simultáneas.
l+1
En el segundo paso, que va desde t l+1/2 hasta t , la ecuación (30.18) se aproxima por

/
l+12
l+1
l+1
l+12
T ij, l+1 − T ij, l+1 /2 = k ⎢ ⎡ T i+1 j , − 2 T ij, l+1 + T i−1 j , + T ij, +1 / − 2 T ij, l+12 + T ij, −1 / ⎤
∆ t/2 ⎣ ⎢ (∆ x) 2 (∆ y) 2 ⎥ ⎦ ⎥ (30.21)
2
2
A diferencia de la ecuación (30.19), la aproximación de ∂ T/∂x es ahora implícita. Así,
el sesgo introducido por la ecuación (30.19) se corregirá parcialmente. Para una malla
cuadrada, la ecuación (30.21) se escribe como
l+1 l+1 l+1 l+1/2 l+1/2 l+1/2
–lT i–1, j + 2(1 + l)T i, j – lT i+1, j = lT i, j –1 + 2(1 – l)T i, j + lT i, j+1 (30.22)
De nuevo, cuando se escribe para una malla bidimensional, la ecuación da como resul-
tado un sistema tridiagonal (figura 30.11). Como en el siguiente ejemplo, esto nos lleva
a una solución numérica eficiente.
EJEMPLO 30.5 Método IDA

Planteamiento del problema. Utilice el método IDA para encontrar la temperatura
de la placa de los ejemplos 29.1 y 29.2. En t = 0, suponga que la temperatura de la placa
es cero y que las temperaturas en la frontera se llevan instantáneamente a los niveles que
se muestran en la figura 29.4. Emplee un tamaño de paso para el tiempo de 10 s. Recuer-
de del ejemplo 30.1 que el coeficiente de difusividad térmica para el aluminio es k =
2
0.835 cm /s.
Solución. Se empleó un valor de ∆x = 10 cm para caracterizar la placa de 40 × 40 cm
2
de los ejemplos 29.1 y 29.2. Por lo tanto, l = 0.835(10)/(10) = 0.0835. En el primer paso
en t = 5 (figura 30.11a), la ecuación (30.20) se aplica a los nodos (1, 1), (1, 2) y (1, 3),
que conducen a las siguientes ecuaciones tridiagonales:

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