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900 DIFERENCIAS FINITAS: ECUACIONES PARABÓLICAS

Explícito
Implícito
t l + 1

y j + 1
y l + 1/2
j t
FIGURA 30.10 y y j – 1 x x
x
Los dos medios pasos j + 1 i – 1 i i + 1
usados en la implementación y j t l
del esquema implícito y
de dirección alternante j – 1 i – 1 x i x i + 1
x
para resolver ecuaciones
parabólicas en dos a) Primer medio paso b) Segundo medio paso
dimensiones espaciales.

∆t ≤ 1 ( ∆x) 2 + ( ∆y) 2
8 k
2
Así, para una malla uniforme (∆x = ∆y), l = k ∆t/(∆x) debe ser menor o igual que 1/4.
En consecuencia, si se reduce a la mitad, el tamaño del paso, se cuadruplica el número
de nodos y aumenta el trabajo computacional en un factor de 16.
Como en el caso de sistemas unidimensionales, las técnicas implícitas ofrecen alter-
nativas que garantizan estabilidad. Sin embargo, la aplicación directa de los métodos
implícitos, como la técnica de Crank-Nicolson, nos lleva a la solución de m × n ecuaciones
simultáneas. Además, cuando se aplican para dos o tres dimensiones espaciales, estas
ecuaciones pierden la valiosa propiedad de ser tridiagonales. De esta manera, el almace-
namiento de la matriz y el tiempo de cálculo llegan a ser extremadamente grandes. El
método descrito en la siguiente sección ofrece una manera de resolver esta disyuntiva.

30.5.2 El esquema IDA
El esquema implícito de dirección alternante, o esquema IDA, proporciona un medio
para resolver ecuaciones parabólicas en dos dimensiones espaciales usando matrices
tridiagonales. Para ello, cada incremento de tiempo se ejecuta en dos pasos (figura 30.10).
En el primero, la ecuación (30.18) se aproxima mediante
/
/
/
l
/
T l+12 − T l ⎡ T l − 2 T + T l T l+12 − 2 T l+12 + T l+12 ⎤
ij, ij, = k ⎢ i+1 j , ij, i−1 j , + ij, +1 ij, ij, −1 ⎥ (30.19)
∆ t/2 ⎣ ⎢ (∆ x) 2 (∆ y) 2 ⎦ ⎥
l
2
2
Así, la aproximación de ∂ T/∂x se escribe explícitamente (es decir, en el punto base t ,
donde se conocen los valores de la temperatura. En consecuencia, sólo se desconocen
2
2
tres términos de la temperatura en la aproximación de ∂ T/∂y . En el caso de una malla
cuadrada (∆y = ∆x), esta ecuación se expresa como
l
l
l+1/2
l
l+1/2
l+1/2
–lT i, j –1 + 2(1 + l)T i, j – lT i, j +1 = lT i–1, j + 2(1 – l)T i, j + lT i+1, j (30.20)
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