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940 ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Estos resultados, a su vez, se sustituyen en la ecuación (32.14), que se escribe en forma
de diferencias finitas para obtener
z = 0.063 z = 0.086 z = 0.063
1,1 1,2 1,3
z = 0.086 z = 0.118 z = 0.086
2,1 2,2 2,3
z = 0.063 z = 0.086 z = 0.063
3,1 3,2 3,3
32.3 PROBLEMAS DE CAMPO ELECTROSTÁTICO
BIDIMENSIONAL (INGENIERÍA ELÉCTRICA)

Antecedentes. Así como la ley de Fourier y el balance de calor se emplean para ca-
racterizar la distribución de temperatura, existen relaciones análogas para modelar
problemas en otras áreas de la ingeniería. Por ejemplo, los ingenieros eléctricos usan un
método similar cuando modelan campos electrostáticos.
Bajo varias suposiciones de simplificación, un análogo de la ley de Fourier se re-
presenta en forma unidimensional como

D = –ε dV
dx

donde D se conoce como el vector de densidad de flujo eléctrico, e = permitividad eléc-
trica del material y V = potencial electrostático.
De manera similar, una ecuación de Poisson para campos electrostáticos se repre-
senta en dos dimensiones de la siguiente manera
2
2
∂ V + ∂ V = – ρ v
∂x 2 ∂y 2 ε (32.16)
donde r = densidad de carga volumétrica.
v
Por último, en regiones que no contienen carga libre (es decir, r = 0), la ecuación
υ
(32.16) se reduce a la ecuación de Laplace,
2
2
∂ V + ∂ V = 0 (32.17)
∂x 2 ∂y 2
Emplee métodos numéricos para resolver la ecuación (32.17) para la situación mos-
trada en la figura 32.5. Calcule los valores para V y para D si e = 2.

Solución. Usando el procedimiento que se describe en la sección 29.3.2, la ecuación
(29.24) para el nodo (1, 1) se escribe como
2 ⎡ V – V 0 1 , V – V 2 1 , ⎤ 2 ⎡ V – V 0 1 , V – V 2 1 , ⎤
11 ,
11 ,
11 ,
11 ,
2 ⎢ + ⎥ + 2 ⎢ + ⎥ = 0
(
∆x ⎣ αα + α 2 ) α 2 (α + α 2 ⎦ ∆y ⎣ β 1 (β + β 2 ) β 2 (β + β 2 ⎦
)
)
1
1
1
1
1
De acuerdo con la geometría ilustrada en la figura 32.5, ∆x = 3, ∆y = 2, b = b = a = 1
1 2 2
y a = 0.94281. Sustituyendo estos valores se obtiene
1
0.12132V – 121.32 + 0.11438V – 0.11438V + 0.25V
1,1 1,1 2,1 1,1
+ 0.25V – 0.25 V = 0
1,1 1,2
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