Page 1001 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

同时收敛或同时发散. 这里, 级数还是可以从任何数开始, 不必一定从 n

= 1 开始, 只需要改变相应的积分下限. 下一章将讨论一些应用积分判

别法的例题, 现在我们至少可以用它来证明级数的 p 判别法, 该判别法

已经在 22.4.3 节见过.

为了研究 的收敛性, 首先假设 p > 0 并考虑函数 f (x) =

p
p
1/x , x > 0. 该函数显然当 x = n 时等于 1/n , 且递减. (证明递减的
一个方法就是考虑导数. 在这个例子中, f'(x) = -px p-1 , 当 x > 0 时为

负, 故 f 递减.) 我们可以由积分判别法得

和

同时收敛或同时发散, 到底是哪个呢？当 p > 1, 根据积分的 p 判别法

知积分收敛, 所以级数也收敛; 当 0 < p ≤ 1, 根据积分的 p 判别法知

积分发散, 所以级数也发散.

p
那 p < 0 的时候呢？这时不能运用积分判别法, 因为 f (x) = 1/x 是

增函数. 你知道, 若 p < 0, 则对于某 q > 0, 可令 p = -q. 则