Page 1003 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

都是交错级数. 我们已经知道 (见 22.4.4 节), 第一个级数绝对收

敛, 故收敛. 第二个更有意思, 它不是绝对收敛的, 因为它的绝对值形式

发散. 令人惊奇的是, 原级数 是收敛的! 当一个级数

收敛而其绝对值形式发散, 我们就说该级数条件收敛. 所以级数

条件收敛. 来看下原因.

交错级数判别法表明, 若级数 是交错的, 且各项的绝对值递减趋

于 0, 则级数收敛. 也就是说, a 正负交错, |a | 递减, 且 ,
n
n

则级数收敛. 例如前面的级数 收敛, 因为它是交错级数, 各

项的绝对值为递减数列 {1/n}, 且趋于 0. 在 23.7 节, 我们将总结判

别法, 讨论更多关于交错级数判别法的例子.

为什么该判别法可行呢？首先我们做个可信度验证. 其中的一个条件为

级数各项的极限趋于 0. 如果不是这样, 则根据第 n 项判别法可知级数

发散! 所以该条件是显而易见的. 再看看剩下的条件是怎么起作用的.

考虑部分和 {A }, 其中 . 由于 a 不停地在正负之间交错,
n
N
部分和 A 则来回游移. 回想持扩音器的家伙告诉你来回走：每一秒,
N

他告诉你向前走, 而下一秒他告诉你向后走. 你可能向前走迈右脚, 而

向后走会迈左脚. 另一方面, 步长 (即 |a |) 变得越来越小且趋于 0, 所
n