Page 1004 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

以你发现自己在用越来越小的步长来回走动. 这意味着, 你左脚和右脚

正在向一起靠近. 每次迈出左脚, 就会比原来的位置远一点; 每次迈出

右脚, 就会回来一点. 在极限情况下, 你的两只脚并在了同一点上, 所以

级数收敛!

假定 a , a , a , … 都为正, a , a , a , … 都为负, 则我们可以用
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数学方式表述上述过程. 现在考虑奇部分和 A , A , A , …, 这是你的
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右脚不断走的位置. 我要求其为递减数列. 实际上, A = a , 而 A =
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a + a + a , 也可写为 A + a + a . 现在 a 是负的, a 是正的,
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且由对步长递减的假设知 |a | ≥ |a |. 这意味着 a + a ≤ 0, 即 A 3
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= A + a + a ≤ A . 现在对 A 重复该论证, 看会发生什么. 你知
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道, A 是前五项 a 之和, 而 A 是前三项之和, 故可以写为 A = A 3
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+ a + a . (若你在三步之后知道自己在哪儿, 即 A , 则只需走下两个
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带符号的步 a 和 a 来看一下五步之后在哪儿, 即 A .) 不管怎样, a 4
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+ a ≤ 0, 因为 a 为负, a 为正, 且 |a | ≥ |a |. 这意味着 A ≤ A .
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若继续该过程, 你会发现
所以你的右脚实际上随着时间的流逝一直往回走.
你可以对偶部分和 A , A , A , … 重复相同的论证 (但方向相反). 做一
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下看看能否得出