Page 1017 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

现在试着计算比值, 将额外的一个因子 1/5 提出来, 就可求得极限

为 4/5, 小于 1, 所以修改后的级数收敛.

考虑级数

它含有阶乘, 故我们用比式判别法, 有

可将上式中的 (n + 1)!/n! 化简为 (n + 1), 因此, 上式结果可化为

现在怎么做呢？看起来似乎很难. 何不把分母变为 (n + 4) × (n +

n
4) , 以使其与分子的幂次一样呢？然后, 我们就可以把各部分组合成：

有些明朗了. 第一个因子 (n + 1)/(n + 4) 显然在 n → ∞ 时趋于 1, 但

第二个似乎有点难. 计算它的一个方法就是将 n 换成 x, 考虑极限