Page 1022 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

23.5 应用积分判别法

当级数同时含有 1/n 和 ln (n) 时, 可用积分判别法. 由 22.5.3 节知,

若 N 为任意正整数, 则我们可以说：

下面是积分判别法的实际应用步骤.

将 n 换为 x, 将 换成 , 并在后面加 dx. 当然, 若级数从 n

= 2 开始, 则用 代换.

检验被积函数是否递减, 这可以通过验证导数是否为负或直接检查

被积函数获知.

现在讨论第一步中的反常积分. 用积分讨论级数的一个主要好处是

可以对积分做换元 (或变量替换, 如果你喜欢的话). 本书中最常见

的换元是 t = ln(x).

若反常积分收敛, 则级数也收敛; 若积分发散, 则级数也发散.

例如, 考虑