Page 1081 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

25.3 用误差项估算问题

在 24.1.4 节, 我们用三阶泰勒多项式 P 来估算 e -1/10 , 然后用余项
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R 来说明近似程度的好坏. 现在, 我们重新看一下这些方法并把它们
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一般化.

为了设置问题背景, 考虑下面两个相似的例子：

(1) 用二阶泰勒多项式估算 e 1/3 , 并估算误差;

(2) 估算 e 1/3 , 且误差不得大于 1/10 000.

第二个问题要比第一个难. 你也看到了, 在第一个问题中, 我们要讨论

二阶泰勒多项式, 故在公式中令 N = 2. 在第二个问题中, 我们实际上

是要找到 N , 这是需要考虑的另一件事情.

用这两个问题来检验一下求解估值 (或近似) 问题的一般方法.

(1) 看一下要估算什么, 选择一个相关的函数 f . 在上面的例子中, 我

x
们要估算 e 某式 , 所以令 f (x) = e . 然后, 我们令 x = 1/3, 这是由于 f

(1/3) = e 1/3 , 这就是我们要估算的量.

(2) 选一个接近 x 值的数 a, 这样 f (a) 就很理想了. 这就意味着, 你应

该能写出 f (a) 的值, 对 f'(a)、f'' (a) 等等也一样. 在我们的例子中,