Page 1108 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

26.1.2 求收敛半径和收敛区域

给定一个幂级数, 如何求收敛半径？答案是用比式判别法. 有时,

根式判别法会更有效, 但比式判别法对大多数问题更合适. (比式判别法

和根式判别法的更多细节分别见 23.3 节和 23.4 节.) 这里是一般的方

法.

(1) 写出比值绝对值的极限, 常常为

若使用的是根式判别法, 则得到

(2) 算出极限. 注意, 极限是在 n → ∞ 时而不是 x → ∞ 时. 它们的差别

很大! 无论是运用比式判别法还是根式判别法, 答案都形如 L |x - a|,

其中 L 可能是一个有限值、0 或者 ∞. 重要的是结果中有因子 |x - a|.

(3) 不管是比式判别法还是根式判别法, 重要的是极限 L |x - a| 是小于

1, 大于 1, 还是等于 1. 所以, 若 L 是正的, 则除以 L 就能知道一切：

若 |x - a| < 1/L, 则幂级数绝对收敛; 若 |x - a| > 1/L, 则幂级数发散;

若 |x - a| = 1/L, 则得不到结论, 需要讨论两个端点. 这是前一节的第

一种情形, 收敛半径是 1/L.