Page 1109 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(4) 若 L = 0, 则不论 x 取何值, 比式的极限都为 0. 由于 0 < 1, 这意

味着幂级数对所有的 x 值都绝对收敛, 所以, 这是前一节的第二种情形,

收敛半径为 ∞.

(5) 若 L = ∞, 则看起来似乎幂级数永不收敛. 其实, 当 x = a 时幂级

数一定收敛, 但幂级数对其他的任何 x 值都发散. 所以, 这里前一节的

第三种情形, 收敛半径为 0.

这或多或少地说明了我们为什么必然得到前一节的三种情形之一. 不

过, 这些仍很抽象, 还需要用一系列的例子来加以说明.

首先, 考虑幂级数

n
我们采用比式判别法. 我们从取通项 x /(n ln(n)) 开始, 并把它作为一
n
个大分数的分母; 然后选取大分数的分子, 还是从通项 x /(n ln(n)) 开

始, 不过这次将每个 n 用 n + 1 代换; 最后, 取绝对值, 然后取 n → ∞

的极限. 所以, 我们需要考虑的是

这与普通的用比式判别法的级数问题一样：只需合并同类项. 可得