Page 1110 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

同样, 极限是在 n → ∞ 时, 这就是将 n/(n + 1) 和 ln(n)/ ln(n +

1) 换成 1 的原因. (对对数运用洛必达法则, 细节自行完成.) 总之, 比

式的极限为 |x|, 故由比式判别法, 我们的幂级数当 |x| < 1 时绝对收

敛, 当 |x| > 1 时发散, 即收敛半径为 1. 我们仍需讨论 x = 1 和 x =

-1 时的情形. 先看 x = 1, 将 x = 1 代入, 则原幂级数变为

它收敛吗？你可运用积分判别法得到, 它发散 (或见 23.5 节). 现在将

x = -1 代入原幂级数可得

它不绝对收敛, 事实上, 将该级数的各项用它们的绝对值代换就是

当 x = 1 时的级数, 这个级数刚刚已被证得是发散的. 另一方面, 上面

x = -1 对应的级数可由交错级数判别法证得是收敛的 (用 23.7 节的

方法, 可自行写出具体细节). 于是, 我们知道在点 x = -1 处条件收敛.

总之, 幂级数在 -1 < x < 1 时绝对收敛, 当 x = -1 时条件收敛, 对其

他的所有 x 都发散. 图像如图 26-7 所示.