Page 1127 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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由于 sin(x) 的级数对所有实数 x 均成立, 则 sin(t ) 的级数对所有实
数 t 都成立. 现在两边可同时求 0 到 x 的积分, 得

对右边逐项求积分, 可得

对所有实数 x 都成立. (你应该试着将这个级数写成求和号的形式,

答案在 26.3 节给出.)

也可将上述积分方法用于泰勒多项式, 这次泰勒多项式的阶要加 1.

26.2.4 泰勒级数相加和相减

若已知两个函数 f 和 g 关于 x = a 的泰勒级数, 则和式 f (x) +

g(x) 的泰勒级数显然是两个泰勒级数之和, 这至少对于两泰勒级数收

敛区间的交集是成立的. 差 f (x) - g(x) 遵循相同规则. 在实践中唯一

需要做的事就是合并同类项, 然后关注所得级数在哪里收敛. 例如,

x
sin(x) - e 的麦克劳林级数为