Page 1122 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

点 a 和 b 的情况比较棘手：求导后的级数可能发散, 即使原级数是收

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敛的 所以要单独讨论端点.

3 若求导后的级数在一个 (或两个) 端点处收敛, 则原级数也在那里收敛.

我们的第一个例子是求 sin(x) 的麦克劳林级数, 假设已知 cos(x)

的麦克劳林级数为

该公式对所有 x 都成立. (这个我们已在 24.2.3 节证明.) 若两边同时

求导, 右边逐项求导, 可得

为了处理左边的负号, 两边同乘 -1. 不过还需要做另一步化简. 我们要

处理形如 2/2!、4/4!、6/6! 和 8/8! 的量. 先来考虑 4/4!, 由于 4! 实

为 3! × 4, 所以可通过消掉因子 4 而将 4/4! 化简为 1/3!. 类似地, 6!

= 5! × 6, 故有 6/6! = 1/5!, 同样 8! = 7! × 8, 所以 8/8! = 1/7!.

综上, 上面的等式变为

由于 cos(x) 的级数对所有 x 都成立, 所以上述求导后的级数也如此.

即, sin(x) 的麦克劳林级数由上式给出, 且对所有 x 都成立. 这就证明