Page 1123 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

了 26.2 节的公式 (2).

这里是幂级数求导的另一个例子. 假定欲求 f (x) = 1/(1 + x) 2

的麦克劳林级数. 最好的方法是从 1/(1 + x) 的级数开始, 该级数是通

过将标准几何级数 (前面的公式 (4)) 的 x 换为 -x 而得到的：

对 -1 < x < 1 成立. 然后两边求导, 右边逐项求导, 可得

剩下的就是两边同时取负, 得

对 -1 < x < 1 成立. (你需要验证, 带求和号的表达式是正确的,

且级数在端点 x = ±1 处不收敛.)

同样, 你可以将这些方法用于泰勒多项式, 还是要注意阶数. 由于多项

式求导使得次数减 1, 所以求导后的泰勒多项式的阶比原多项式的阶小

3
2
1. 例如, 1/(1 + x) 关于 0 的 3 阶泰勒多项式是 1 - x + x - x , 如
2
前一个例子. 若求导并乘以 -1, 则 1/(1 + x) 关于 0 的二阶泰勒多项

2
式为 1 - 2x + 3x .