Page 1125 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

化简后得 C = 0. 将其代入并两边取负, 则得到前面的 ln(1 - x) 的级

数：

由于原级数 (1/(1 + x) 的级数) 对 -1 < x < 1 收敛, 故积分后的级数

(即 - ln(1 - x) 的级数, 进而对 ln(1 - x) 的级数) 也对 -1 < x < 1 收

敛. 其实, ln(1 - x) 的级数当 x = -1 时也收敛, 不过如我所说, 逐项积

分以后的幂级数并未给出收敛区间端点的任何信息. 现在, 可将 26.2

节公式 (5) 中的 x 代换为 - x, 得到 ln(1 + x) 的展开式.

-1
另一个例子：如何求 tan (x) 的麦克劳林级数？不断求导是很痛

苦的 (试试看就知道了!) 但我们可以更灵活一点, 对已知的级数求积分.

-1
2
我们来看一下, tan (x) 是 1/(1 + x ) 的一个反导数, 我们在 26.2.1
节得知

现在可以两边求积分, 得到

右边逐项求积可得