Page 1233 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

开, 将其打开并平铺成一个薄薄的矩形状金属片. 当然它不是一个矩形.

要知道, 矩形是一个二维的物体, 而展开的罐子是三维的 —— 罐子虽

然很薄, 但还是有厚度的. (甚至一片纸也有厚度, 否则大量的纸堆叠起

来可能还是很薄很薄.) 它甚至不是一个长方体, 因为罐子的内半径不等

于外半径. 但关键是, 它几乎是一个长方体. 罐子越薄, 就越接近于一个

1
长方体, 当我们最后 (用积分) 求极限时,一切就都算出来了 . 所以, 理

想的罐子展开图为图 29-9. 其厚度为 dx 单位, 剪开后高度仍为柱壳的

高, 即 y 个单位. 那长边呢？它等于壳的周长 (想一想), 即 2πx 个单

位, 因为壳的半径基本上是 x 个单位, 所以其体积与 2πxy dx 立方单

位很接近. 现在我们所要做的, 就是从 x = 2 到 x = 4 进行积分来看

半个面包圈的体积 (立方单位)：

1 更一般的, 我们把壳的体积看成外面壳 (半径为 x + dx 个单位) 与里面壳 (半径为 x 个单

2
2
位) 的体积差. 两个壳都有 y 单位高, 所以壳的体积为 πy((x + dx) - x ), 化简为 2πxy
2
2
dx + πy(dx) 立方单位. 求积后, 第二项由于可忽略量 (dx) 而为 0.

太棒了! 我们已将问题简化为求定积分的值, 不过这个积分还是有点杂

乱. 先做代换 t = x - 3, 则 dt = dx. 同样, 当 x = 2, 我们有 t = -1;

当 x = 4, 我们可知 t = 1. 所以, 用 t 表示, 积分变为