Page 1234 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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第一个积分可通过做代换 u = 1 - t 求解, 第二个积分可用三角换元求
解. 有个更好的求解方法. 注意第一个积分其实为 0, 因为被积函数是关

于 t 的奇函数, 且积分区域 [-1, 1] 关于 t = 0 对称. (我们在 18.1.1

节末证过这个求积分的捷径.) 此外, 求第二个积分 (暂时忽略积分前的

因子 3) 的最简单方法是要想到它等于半径为 1 个单位的半圆的面积

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(平方单位), 即 π/2. 所以不用太多计算, 就可知整个答案为 3π , 因此

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半个面包圈的体积是 3π 立方单位. 毫不意外, 我们刚才用的方法称为

壳法 (也称为柱壳法).

29.1.3 总结和变式

到目前为止, 我们已经知道了如何在半圆的例子中应用圆盘法和壳法.

相同的方法也可应用在由曲线、x 轴和两个垂线围成的区域, 如图 29-

10 所示.