Page 1297 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

的解为 y = A e -ax . (其实, 这个方程就是 dy/dx = ky, 其中 k = -a

的形式, 见 30.1 节和 30.2 节. ) 例如, 给定微分方程

3x
可以直接写出其解为 y = A e , 其中 A 是常数.

30.4.2 解二阶齐次方程

这种情况有点棘手. 我们需解

它看起来有点奇怪, 最简单的办法就是提取出一个二次方程. 这个

2
二次方程称为特征二次方程, 即 at + bt + c = 0. 例如, 考虑下面 3
个微分方程：

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注意, 我们已经用 y' 代替 dy/dx, 用 y'' 代替 d y/dx . 不管怎样, 这
2
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3 个例子的特征方程分别为 t - t - 20 = 0、t + 6t + 9 = 0 和 t 2
- 2t + 5 = 0.

接下来就是求特征方程的根. 这有三种可能, 取决于方程是否有两个实

根、一个 (双重) 实根或两个复根. 我们来总结一下整个方法, 然后解

上述三个例子.