Page 1298 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

下面是解齐次方程 ay'' + by' + cy = 0 的方法.

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(1) 写出特征二次方程 at + bt + c = 0 并解 t.

(2) 若有两个不同实根 α 和 β, 解为

(3) 若只有一个 (双重) 实根 α, 解为

(4) 若有两个复根, 它们将是共轭的, 即其形为 α ± iβ. 解为

在所有情形中 (2、3 和 4), A 和 B 为不定常数.

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所以, 对前面的例 (a), 我们看到特征二次方程是 t - t - 20 = 0. 若

将二次式因式分解为 (t + 4)(t - 5), 显然方程的解为 t = -4 和 t =

5. 由上面第 (2) 步可知, 方程 y'' - y' - 20y = 0 的解为

对某些常数 A 和 B 成立.

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例 (b) 的特征二次方程 t + 6t + 9 = 0 化简为 (t + 3) = 0, 因此
唯一解为 t = -3. 由前面第 (3) 步, 齐次方程 y'' + 6y' + 9 = 0 的解

为