Page 1302 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这里我把前面的解 写为 y , 称其为特解, 它解释了下标为何是
P

P . 现在, 如果把方程 和 加起

来, 把导数放在一起, 我们得到

事实上, 由于导数之和等于和的导数, 对二阶导也一样, 我们可得

x
因此, 若 y = y + y , 则 y 也是原微分方程 y'' - y' - 20y = e 的
H
P
一个解. 换句话说, 我们可以取特解

它确实是原微分方程的解, 然后加上微分方程齐次形式的任意解, 结果

仍为原微分方程的解. 进一步地, 非齐次方程的所有解均为该形式.

一阶和二阶微分方程都可用这个方法. 唯一的问题是怎么猜这个特解.

在下一节, 我们将讨论如何推测解的形式 (与 18.3 节中的部分分式法

类似). 若幸运的话, 可以代入该形式并求出未知常数来确定特解.

下面我们总结一下所讨论的方法.

(1) 将方程整理成正确的形式, 即将所有含 x 的部分放在右边. 则可将

一阶形式方程化简为