Page 1299 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

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最后, 如果我们用二次公式来解例 (c) 的特征二次方程 t - 2t +

5 = 0, 可得 t = 1 ± 2i. (试一下看看!) 故, 由 α = 1 和 β = 2, 上面

的第 (4) 步给出了 y'' - 2y' + 5y = 0 的解：

同样, A 和 B 为不定常数.

30.4.3 为什么特征二次方程适用

为什么前面的方法适用呢？(若你不关心原因, 可以直接转到下一

αx
节!) 考虑将 y = e 代入方程 ay'' +by' +cy = 0 时会发生什么. 我
αx
2 αx
们有 y' = α e 和 y'' = α e . 所以

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故, 若 α 为特征二次式 at + bt + c 的一个根, 则有 aα + bα
αx
+ c = 0. 上述等式暗示了 ay'' + by' + cy = 0, 即 y = e 解出了

微分方程! 同样, 该解的任何常数倍也是方程的解, 且若有另一个根 β,

βx
αx
则可将两个解 y = A e 和 y = B e 加起来得到更多解. (试试看!)
但要小心第 (2) 步.

下面我们来看第 (4) 步. 若二次方程的两个解是形如 α + iβ 的共轭复

根, 则根据第 (2) 步的讨论, 解定为