Page 1300 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

这里 A 和 B 甚至可以为复数. 现在可用欧拉等式 (见 28.2 节) 得

重新标记常数 (A + B) 为 A, 常数 (A - B)i 为 B, 得到正确的公式.

αx
最后对第 (3) 步, 假定特征二次方程只有一个根 α. 若将 y = x e 带
αx
αx
入微分方程 ay'' + by' + cy = 0, 可以由 y' = αx e + e 和 y''
αx
2
αx
= α x e + 2α e 推出

2
2
若 α 是 at + bt + c 的双重根, 则不仅 aα + bα + c = 0, 而且
3
2aα + b = 0 . 由此可推出前面第 (3) 步的正确解.

3 这是二次方程 at + bt + c = 0 有双重根 t = α 时 2aα + b = 0 的原因：判别式为 0,
2

2
所以 b = 4ac. 则

2
又因为 (2aα + b) = 0, 当然有 2aα + b = 0.

30.4.4 非齐次方程和特解

我们来看方程右边仅有 x 部分时的情况. 例如, 考虑微分方程