Page 1304 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

目前为止, 我们忽略了可能出现在右边的含 x 部分 (之前称为 f

(x)), 现在该讨论这部分了. 其方法是写出特解的形式, 然后将该形式

代入方程来求真正的解. 通过后面的表格可知如何写出正确的形式. 例

如, 在微分方程

2x
2x
中, 右边是 e 的倍数, 由表可知特解的形式应为 y = C e , 其中 C
P
是一个常数. 我们需将 y 代入原方程来求出这个常数. 易知
P

, 因此有

2x
2x
2x
它可化简为 -C e = 5e , 所以 C = -5. 由此, 特解为 y = -5e .
P
事实上, 由于我们在 30.4.1 节见过齐次形式 y' - 3y = 0 的解为 y H
2x
3x
= A e , 因而可以知道 y' - 3y = 5e 的全解是

其中 A 为未知常数. 注意, 齐次解包含未知常数, 而特解一定不能含未

知常数.

下面就是那个表格.

若 f 是一个 则形式为

次数为 n 的多项式 y =次数为 n 的一般多项式
P
例, y = a
P