Page 1306 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

除了最后一行, 这个表对于 “若为积, 删掉一个常数” 是不言自明的.

最后一行将在 30.4.7 节加以解释. 要明白这个不言自明, 首先注意到

2 -6x
两种形式乘起来时有一个多余的常数. 例如, 2x e 看似会引入形式

2
(ax + bx + c)C e-6x, 但常数 C 是没必要的, 可以删除, 因为它可

以并入到其他的常数 a、b 和 c 中. 这点同样适用于表中的例子 7e 2x

sin(3x) 和 4x cos(3x).

(顺便说一下, 这个表只显示了若 f 为多项式、指数、正弦、余弦, 或

一个或多个这些类型函数的积或和的方法. 这个方法不适用于其他情

形. 还有一个更一般的方法 “参数变异法”, 但它不在本书的讨论范围

内. )

30.4.6 求特解的例子

写出了 y 的形式后, 还需将其代入原微分方程来求常数. 为使计算更
P

容易, 首先要求 和 (对一阶情形, 只需求 ). 我们来看一个这样

的例子, 然后再返回完成 30.4 节中未完成的两个例子.

首先考虑微分方程

我们来快速搞定齐次部分. 其实, y'' - 4y' + 4y = 0 的特征二次方程

2x
2
t - 4t + 4 = 0 只有一个解, 即 t = 2. 因此, 我们有 y = A e +
H