Page 1335 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

况下都有 |g (x) - M| < 1; 这意味着, 在我的区间上 M - 1 < g (x) <

M + 1. 特别地, 我们可以看到 |g (x)| < |M| + 1. 要点在于, 在我的

区间上有一些理想的不等式：

我们可以将它们代入上面的 |f (x) g (x) - LM|, 得到

其中 x 充分地接近 a. 这几乎就是我们想要的了! 在右边我应该得到

ε, 但是我得到了一个额外的因子 (|M| + |L| + 1). 这没有问题 ——

只要你允许我再移动一次, 这一次我将确保 |f (x) - L| 不超过 ε/(|M|

+ |L| + 1). |g (x) - M| 同理. 然后, 当我重做以上步骤时, ε 将由

ε/(|M| + |L| + 1) 代替, 并且在最后一步, 因子 (|M| + |L| + 1) 会被

消除, 而我们正好得到 ε! 这样, 我们就证明了该结论.

顺便一提的是, 要注意上述情况的一个特例. 如果 c 是常数, 那么

在上述主要公式中设 g (x) = c, 很容易看出这一点. 我将细节留

给你来完成.

A.2.3 极限的商及证明