Page 1343 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为了定义右极限, 我们来做相同的游戏, 只是这一次我们提前舍弃了 x

= a 左边的一切. 其效果就是：当我移动时只需要考虑 (a, a + δ), 而

不是选取一个类似 (a - δ, a + δ) 的区间. a 左边的一切都是无关紧要

的.

类似地, 对于左极限, 只有 a 左边的 x 值是相关的. 这表示, 我的区间

会形如 (a - δ, a); 我已经舍弃了 x = a 右边的一切.

这一切表明, 你可以取以上方框定义中的任意一个, 并将不等式 0 < |x

- a| < δ 改为 0 < x - a < δ 来得到右极限. 而为了得到左极限, 就要

将不等式 0 < |x - a| < δ 改为 0 < a - x < δ. 你不用详细写出全部

六种形式 (就是极限值为 L、∞ 及 -∞ 的左极限和右极限), 但若你能不

看这几页, 自己尝试全部写出, 那的确是一个不错的练习机会.

A.3.3 在 ∞ 及 -∞ 处的极限

最后的极限情形是在 ∞ 或 -∞ 而不是某个有限值 a 取极限. 因此, 我们

想要定义

当然需要对游戏稍作改动, 我们已经知道如何去做了. 事实上, 只需要

改写 A.3.1 节中的方法. 以你选取很小的数 ε > 0 开始, 建立你的容忍

区间 (L - ε, L + ε); 然后我的移动将是舍弃某条垂线 x = N 左侧的函

数部分, 以便这条线右侧的所有函数值都落在你的容忍区间内; 然后,