Page 1348 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

(x) 总超出区间, 而我总是在你的区间内移动, 因此我画不出一条垂线

并说在该线的右侧. 不论对于哪个高度为 1 的水平线条, 结果都是一样

的.

为了使讨论完整, 我们还应该确保该极限不可能是 ∞ 或 -∞. 事实上,

如果该极限是 ∞ 的话, 那么你将选取 M > 0, 而我必须确保对于某个

N , 只要 x > N 就有 sin (x) > M . 然而, 要想阻挠我, 你只需选取 M

= 2. 由于对于任意的 x 都不会有 sin (x) > 2, 所以我就被钉住了. 可

用相同的移动来处理 -∞ 的情况 (做做看). 这样, 我们的确证明了以上

极限不存在.

在 3.3 节中, 我们还提到极限

不存在. 为了证明这是真的, 你可以选取一个可能的极限 L 并进行如同

上例的论证. 如果你的移动是选取 , 那么我需要试着选取 δ > 0,

使得只要 0 < x < δ 就有 . (这里我们使用的是 A.3.2

节中的定义. ) 现在你可以变聪明些并尝试找到两个会把上述情形搞乱

的很小的 x 值. 事实上, 对于足够大的 n, 如果你尝试 x = 1/ (nπ +

π/2), 然后尝试 x = 1/ (nπ + 3π/2), 那么两个取值都在 0 < x < δ

中, 但事实表明, sin (1/x) 的结果分别是 1 和 -1. 不管 L 如何, 它们两

个不可能都落在容忍区间 中, 这就说明 L 不是极限.