Page 1347 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)
P. 1347
不存在 (DNE). 凭直觉, sin (x) 一直在 -1 和 1 之间振荡, 因此它不会
趋于任意一个数. 我们现在用 A.3.3 节的定义来证明这个直觉是对的.
假设该极限存在且极限值为 L. 你选取数 ε > 0, 然后我需要选取一个
很大的数 N , 只要 x > N , 就有 |sin (x) - L| < ε. 我们假设你选取 ε
为 . 这意味着, 我需要保证, 只要 x > N 就有 . 从另一
种方式来看, 就是对于所有的 x > N , sin (x) 必须落在区间
中. 不幸的是, 不管 L 和 N 是什么, 这都是不可能的! 要
知道为什么, 我们首先选取大于 N 的 π 的倍数：不妨设这个数为 nπ.
其中 n 是一个整数. 那么, sin (nπ + π/2) = 1, 而 sin (nπ + 3π/2)
= -1. sin (x) 的这两个值的距离为 2, 由于区间 的长度仅
为 1, 故它们不可能都落在该区间中. 因此, 该极限不可能是一个有限的
数 L.
图 A-8 是我们对极限 L 期望的三个可能的候选图像.
图 A-8
在每种情况下, 围绕 L 的区间的宽都是 1 , 但是在这三种情况下, 即使
我舍弃了函数的大部分, 还是不能将 sin (x) 填塞到该区间中. 由于 sin
