Page 1352 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

确的, 所以 Smiddy 就可以这样做. 为什么要用 λ 代替 δ 呢？因为

Smiddy 非常喜欢它.

现在, 轮到我来对抗 Smiddy 了. 这一次, 我们根据 g 在 x = a 上连续

的事实写出

关键是：Smiddy 使用的是数 λ, 而不是你已经使用的 ε! 因此,

Smiddy 的容忍区间是 (g (a) - λ, g (a) + λ). 现在, 我必须舍弃以 x

= a 为中心的一个小区间外的一切, 以便所剩的函数值落在 Smiddy

的区间内. 因为以上极限是正确的, 所以我可以选择 δ > 0, 使得只要

|x - a| < δ, 就有 |g (x) - g (a)| < λ.

我们要综合考虑. 由于我和 Smiddy 的游戏, 我们知道只要 |x - a| <

δ, 就有 |g (x) - g (a)| < λ. 而你和 Smiddy 的游戏显示, 如果 |y - g

(a)| < λ, 那么 |f (y) - L| < ε. 我们不管 Smiddy, 用 f (g (a)) 替换

L, 用 g (x) 替换 y. 可以看到, 只要 |x - a| < δ, 就有 |f (g (x)) - f (g

(a))| < ε. 这表示, 如果我直接与你对抗, 我总是可以做一次合情理的

移动, 不管 ε 是什么 (只要它为正). 因此, 我们实际上就证明了

其中 g 在 x = a 上连续且 f 在 g (a) 上连续. 当然, 如果 f 和 g 都处

处连续, 那么复合函数 f ○ g 也处处连续.