Page 1350 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.4 连续与极限

正如我们在 5.1.1 节中看到的, 说一个函数 f 在 x = a 上连续就是指

即, 当 x → a 时有 f (x) → f (a). 因此, 函数 f 保持极限, 这就是连续的

核心思想. 不管怎样, 现在我们可以使用极限的知识来证明, 当你对两

个在 x = a 上连续的函数做加法、减法、乘法或除法时, 新的函数在

那里也是连续的. (在除法的情况下, 分母在 x = a 上不能为 0. ) 事实

上, 我们假设 f 和 g 在 x = a 上连续, 那么

和 .

因此, 为了证明函数 f + g 在 x = a 上连续, 我们所要做的就是拆分极

限. 在 A.2.1 节我们证明过

就是这么简单. 现在, 你可以用 -、× 或 / 号来替换 + 号, 从而得到对

于减法、乘法和除法的类似结果.

A.4.1 连续函数的复合