Page 1351 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

我们来看一些稍复杂情况. 假设 f 和 g 都处处连续, 我们想要证明复合

函数 f ○ g 也处处连续. 我们需要集中考虑一个特殊的 x 值. 因此, 假

设 g 在 x = a 上连续. 那么我们需要 f 在哪里连续呢？我们想要证明

因此没有必要去担心 f 在 x = a 上是否连续. 我们需要的是它在 g (a)

上连续, 因为我们要在 g (a) 的附近且在点 g (a) 上评估 f .

下面就是我们面临的情况：g 在 x = a 上连续, 且 f 在 x = g (a) 上

连续, 要证明 f ○ g 在 x = a 上连续. 为了求证, 我们需要在游戏中增

加第三参与者. 事实上, 我将对抗这个新的参与者, 我们称之为

Smiddy, 而 Smiddy 将对抗你.

来看看如何玩游戏吧. 由于 f 在 g (a) 上连续, 我们知道

注意, 我使用 y 作为代替 x 的虚拟变量, 但这没问题 —— 你可以将 y

变成你喜欢的任意字母, 它们表示的是同一个意义. 不管怎样, 我们设 L

= f (g (a)). 然后, 你选取你的 ε > 0, 建立你的容忍区间 (L - ε, L +

ε). 而你要挑战 Smiddy, 舍弃以 y = g (a) 为中心的一个小区间外面

的一切, 以便所剩的函数值都落在你的区间内. 即, Smiddy 应该选取 λ

> 0, 使得 |y - g (a)| < λ 时都有 |f (y) - L| < ε. 因为以上极限是正