Page 1360 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.5 再谈指数函数和对数函数

在 9.2 节中, 我们发展了指数函数和对数函数的理论, 最终的发现就是

和 .

当时还有个不精确的结尾：我们断言

存在, 并称之为 e, 但我们并没有证明过它. 直接证明上述极限存在是

可能的, 但这提供不了任何特别的信息. 反之, 我假设你已经学了积分

和微积分基本定理 (见第 16 章和第 17 章), 从而我可以用一个不同

的方法解决问题. 事实上, 一切都是从对数函数开始的.

我们先根据规则定义一个函数 F ,

对于所有的 x > 0 成立. 这个函数基于另一个函数的积分, 就这类函

数请参见 17.1 节. 现在, 我知道你可以写出