Page 1362 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

而是使用了积分判别法来说 和 同时收敛或同时发散;

然后使用 22.4.3 节中的论证来证明该级数发散; 故该积分也发散. 因

此我们有

和 .

由于 F 连续, 介值定理 (见 5.1.4 节) 表明, 一定存在一个数 e 使得 F

(e) = 1. 毕竟, 1 介于 0 和 ∞ 之间! 此外, 对于所有的 x > 0, F' (x)

= 1/x > 0, 我们因此知道 F 总是递增的. 因此, 不可能存在其他的数

c, 使得 F (c) = 1. 我们已经有了 e 的正式定义：

现在, 我们选取一个有理数 α 并定义

使用 17.5.2 节中描述的变形 2 的技巧, 可以看到

(不使用对数函数求导, 假设我们知道 . 如果只知道

对于正整数是成立的, 正如 6.1 节所述, 那么我们来看看是否可以对于