Page 1356 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.4.3 最大 - 最小定理的证明

现在我们来证明 5.1.6 节的最大 - 最小定理. 其基本思想是, 假定我们

有一个在闭区间 [a, b] 上连续的函数 f , 我们断言, 该区间上存在某个

数 c 使 f 达到最大值. 正如我们看到的, 这表示 f (c) 大于或等于其他 f

(x) 的值, 其中 x 在整个区间 [a, b] 上漫游.

证明如下. 我们想要证明的是, 你可以放置某条水平线 y = N , 使得所

有的函数值 f (x) 都位于这条线的下方. 如果做不到这一点, 那么函数

就会在 [a, b] 内的某处变得越来越大, 而不会有最大值. 因此, 我们假

设你画不出这样的一条线. 那么, 对于每一个正数 N , 在 [a, b] 中存在

某个点 x 使得 f (x ) 在水平线 y = N 的上方即我们找到了若干个点
N
N
x , 对于每一个 N , 都有 f (x ) > N . 我们在 x 轴上用 X 将它们标出
N
N
来.

这些标记点在哪里呢？有无穷多个这样的点. 因此, 如果我们将区间

[a, b] 分成两半得到两个新的区间, 它们中的某一个定然包含无穷多个

标记点. 它们可能都包含无穷多个标记点, 但不可能都只包含有限个标

记点, 否则总的标记点将是有限的. 让我们把注意力集中在原始区间中

包含无穷多个标记点的那一半上. 如果它们都如此, 那就选择你最喜欢

的那个 (这没有关系的). 现在, 我们用新的更小的区间重复这个练习：

将它分成两半. 其中之一一定包含无穷多个标记点. 只要你喜欢, 我们

就继续做这个练习, 你会得到一个变得越来越小的区间的集合, 一个套