Page 1358 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

值会远远大于 f (q) + 1. 一切都将失去控制. 因此, 画不出让整个函数

位于其下方的直线 y = N , 这一假设是错的.

事情还没有结束. 我们有了这条线 y = N , 它位于 y = f (x) 在 [a, b]

的图像的上方, 现在, 我们需要将它向下移动, 直到它接触到该图像以

便求最大值. 因此, 我们选取尽可能小的 N , 使得对于 [a, b] 内的所有

x 有 f (x) ≤ N . (我们再次使用了完备性. ) 现在我们需要证明, 对于某

个 c 有 N = f (c). 为了求证, 我们要重复在标记点中所使用的技巧, 只

是这一次将它们用圈标记出来. 我们选取一个正整数 n, 在 [a, b] 中一

定能够找到某个数 c , 使得 f (c ) > N - 1/n. 如若不然, 我们就应该在
n
n
y = N - 1/n(或更低处) 而不是 y = N 处画那条线. 因此, 存在这样的

一个 c , 且对于每一个正整数 n 都存在. 我们将这些点圈起来. 有无穷
n

多个这样的点, 当你对它们取 f 值时, 其结果会越来越接近 —— 事实

上是任意地接近 ——N . (没有一个值会超过 N , 因为对于所有的 x 有

f (x) ≤ N !) 现在, 我们所要做的就是持续将区间 [a, b] 进行二分, 使

得每一个小区间都包含无穷多个圈起来的点. 和前面一样, 在所有的区

间中都存在一个数 c. 这个数又被圈起来的点所环绕着.

f (c) 是什么呢？它不可能大于 N , 但或许它会小于 N . 我们假设 f (c)

= M , 其中 M < N , 另外设 ε = (N - M) /2. 由于 f 是连续的, 我们实

际上需要