Page 1355 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

当 x 在 c 的右边一点点时就会有问题, 因为 f (x) 预期应该是正的, 而

f (c) 为负. 更正式地, 你可以选择 ε = -f (c) /2 (它是正的), 那么你的

容忍区间就是 (3f (c) /2, f (c) /2), 它仅由负数组成. 我不能选取任何

位于 [a, b] 中形如 (c - δ, c + δ) 的区间, 因为任何这样的区间都包含

一个大于 c 的 x. 根据上面的条件 (1), 我们知道 f (x) 一定为正, 这表

示它不会位于你的容忍区间. 因此, 不可能有 f (c) < 0. 直观上, 如果

有 f (c) < 0, 那么你的穿插仍然有数在它的右边!

或许 f (c) > 0. 在这种情况下, 我们不可能有 c = a, 因为 f (a) < 0.

现在, 当 x 在 c 的附近时, f (x) 的值应该在 f (c) 附近; 特别地, 它们

应该是正的. 由于上面的条件 (2), 所以这是个问题. 更明确些, 这一次

你可以选择 ε = f (c) /2, 则你的容忍区间是 (f (c) /2, 3f (c) /2). 我需

要尝试找到一个在 [a, b] 中的区间 (c - δ, c + δ), 使得对于我的区间

中的任意 x, f (x) 总是位于你的容忍区间里. 特别地, f (x) > 0. 这意

味着, 对于 (c - δ, c) 中的所有 x 有 f (x) > 0, 这和条件 (2) 是相悖

的. 故 f (c) > 0 也不可能. 如果它是真的, 那么我们可以将穿插再向左

边挪一些, 因此它不会是 c.

剩下的是什么呢？唯一可能就是 f (c) = 0, 因此, 我们证明了该定理.

顺便要说的是, 我们很容易将情况改为 f (a) > 0 及 f (b) < 0 的情况.

你可以稍稍改写一下证明, 或者设 g (x) = -f (x) 并对 g 而不是 f 应用

该定理.