Page 1361 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

因为 x > 0 且 ln (1) = 0. 问题是, 我们的行动过早了! 如果真要以恰

当的方式求解, 就不能使用 ∫ 1/t dt = ln |t| + C 这一事实. 实际上,

这是我们想要证明的事情之一. 目前为止, 我们不能假设 F (x) = ln

|x| , 那就让我们从证明它开始吧.

让我们写出函数 F 的一些有趣性质. 根据微积分第一基本定理, F 的导

数为

因此, F 可导, 这意味着它是连续的 (见 5.2.11 节). 接下来, 我们设 x

= 1, 从而得

因为若积分上下限相等且函数在那里确实有定义, 则任何函数的积分

都是 0(见 16.3 节). 极限

如何呢？事实上, 根据反常积分的定义 (见 20.2 节), 我们有

反常积分 发散, 我们必须非常小心提到. 最初证明它的发散性

时, 我们使用了公式 ∫ 1/t dt = ln |t| + C, 但我们现在不能这样做!