Page 1357 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

一个, 并且每一个都包含无穷多个标记点. 我们将这些区间一个一个地

堆在一起, 如图 A-9 所示.

图 A-9

2
直观上, 必有实数存在于所有这些区间之中, 我们称之为数 q. f (q) 是

什么呢？我们可以使用 f 的连续性来获得一些信息. 事实上, 我们知道

2 同样, 我们需要使用实轴的完备性来证明. 事实上, 一定只存在一个这样的数 —— 你知道为

什么吗?

因此, 打个比方, 如果你选取的 ε 是 1, 那么我应该能够找到一个区间

(q - δ, q+ δ), 使得对于所有该区间中的 x 都有 |f (x) - f (q)| < 1. 问

题是, 这个区间 (q - δ, q + δ) 包含了无穷多个标记点! 因为不管 δ

多么小, 我们选择的最后一个小区间都会位于 (q - δ, q + δ) 内. 这才

是问题所在：所有这些标记点都应该在区间 (q - δ, q + δ) 内, 当你对

其中任意一个点取 f 值时, 会得到一个介于 f (q) - 1 和 f (q) + 1 之间

的数. 因此, 不管 f (q) 是什么, 我们都会陷入困境：某些标记点的函数