Page 1363 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

所有的有理数来证明这个事实.) 另一方面, 我们知道 F' (x) = 1/x, 因

此, 上述方程暗示了 G' (x) = αF' (x). 由于 α 是常数, 我们看到 G

(x) = αF (x) + C, 其中 C 是常数. 特别地, 如果我们设 x = 1, 此方

α
程变为 G (1) = αF (1) + C. 现在有 G (1) = F (1 ) = F (1) = 0,

α
α
故 C = 0. 由于 G (x) = F (x ), 我们就证明了 F (x ) = αF (x), 对于
任意有理数 α 及 x > 0 成立. 事实上, 由于 F 连续, 结果对于任意实

α
数 α 一定也适用! 现在我们设 x = e, 会看到 F (e ) = αF (e) = α,

x
因为 F (e) = 1. 我们将 α 变为 x, 这样就证明了 F (e ) = x. 因此, F

x
是 e 的反函数, 这表示 F (x) = ln (x). 因为我们知道 F' (x) = 1/x,
x
这就证明了 . 现在, 如果 y = e , 那么 x = ln (y), 故

x
x
根据链式法则, dy/dx = e . 因此, 我们对 ln (x) 和 e 求了导且证明
了 e 存在!

现在, 我们要做的就是证明

这十分简单：令 y = (1 + h) 1/h , 于是 ln (y) = ln (1 + h) /h. 故根

据 9.4.3 节中使用的论证 (或洛必达法则)