Page 1367 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

其中 Δy 是将 x 变为 x + Δx 时 y 的变化量.

因此, 我们想要证明的乘积法则说的就是

假设我们将 x 变为 x + Δx, 那么 u 就变为 u + Δu, v 就变为 v +

Δv. 而 uv 就变为 (u + Δu) (v + Δv). 这个变化量有多大呢？我们取

原来的量与新的量的差来看看：

展开并化简, 得到

现在用该式除以 Δx. 对于最后一项, 我们要多除以一个 Δx, 再乘以这

个量使方程两边保持平衡. 结果是

如果你取当 Δx → 0 时的极限, 那么所有的比率都会趋于相应的导数,

但最后一个 Δx 的因子会趋于 0, 即