Page 1368 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于最后一项为 0, 我们就证明了乘积法则. 现在, 你应该尝试写

出一个使用 f (x) 记号 (形式 1) 的证明了.

A.6.4 商法则的证明

现在我们想要证明

同样, 当 x 变为 x + Δx 时, 我们知道 u 和 v 就会分别变为 u + Δu

及 v + Δv. 而 u/v 就变为 (u + Δu) / (v + Δv). 这个变化量是

我们对上式通分并消除 uv - uv, 得到

将上式除以 Δx, 再用 Δx 和分母中的 Δv 的项相乘并相除, 得到

现在令 Δx → 0. 所有的分式都变为导数, 并且分母中的最后一个因子

趋于 0, 因此我们得到结果