Page 1371 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

为了证明这一点, 我们首先假设 f 在 x = c 有一个局部最小值. 如果 f'

(c) 不存在, 那么它就是一个临界点, 这正是我们所希望的. 另一方面,

如果 f' (c) 存在, 那么

由于 f 在 c 上有一个局部最小值, 因而我们知道当 c + h 非常接近 c

时, f (c + h) ≥ f (c). 当然, 只有当 h 接近于 0 时, c + h 才会非常

接近 c. 对于这样的 h, 上述分式中的分子 f (c + h) - f (c) 一定是非

负的. 当 h > 0 时, 量

是正的 (或 0); 但是当 h < 0 时, 此量是负的 (或 0). 因此右极限

一定大于或等于 0, 而同样的左极限是小于或等于 0. 由于双侧极限存

在, 故左极限等于右极限; 唯一的可能性就是它们都是 0. 这就证明了

f' (c) = 0, 故 x = c 是 f 的一个临界点.

如果 f 在 x = c 有一个局部最大值会如何呢？我把这个论证过程

留给你来完成. 唯一的区别就是, 当 h 接近于 0 时, 量 f (c + h) - f

(c) 是负的 (或 0).