Page 1372 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

A.6.7 罗尔定理的证明

假设 f 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且满足条件 f (a) = f (b).

接下来, 我们想要证明在 (a, b) 内存在一个数 c, 使得 f' (c) = 0. 为

了求证, 我们使用最大-最小值定理来说明 f 在 [a, b] 上有一个全局最

大值和一个全局最小值. 如果最大值或最小值中任一个出现在 (a, b)

内的某个数 c 上, 那么极值定理告诉我们 f' (c) = 0. (我们知道 f' (c)

存在, 因为 f 在 (a, b) 内可导. ) 其他的唯一可能性就是全局最大值和

全局最小值都出现在端点 a 和 b 上. 在这种情况下, 由于 f (a) = f

(b), 该函数一定为常数, 因此, (a, b) 内的每一个数 c 都满足 f' (c) =

0. 这就是完整的证明!

A.6.8 中值定理的证明

现在, 我们知 f 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 但我们不假设 f

(a) = f (b). 中值定理表明, 在 (a, b) 内存在某个 c 满足

为了证明这一点, 我们定义一个新的函数 g ：