Page 1370 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

右边的极限就是 g' (x), 但左边是什么呢？求解技巧是设 ε = g (x +

Δx) - g (x). 那么, 左边极限的分子中的量 g (x + Δx) 可以被写作 g

(x) + ε, (你知道这是为什么吗？) 而分母正是 ε 本身. 因此我们有

现在, 当 Δx → 0 时, ε 会怎样呢？由于 g 可导, 由 5.2.11 节可知 g

连续. 特别地, 有

如果从两边减去 g (x), 那么你会看到, 当 Δx → 0 时 ε → 0. 这表示,

在 h' (x) 的表达式中, 我们可以用 ε → 0 替换 Δx → 0, 得到

第一项正是 f' (g (x)), 故 h' (x) = f' (g (x)) g (x). 这样, 我们就证明

了链式求导法则.

A.6.6 极值定理的证明

在 11.1.2 节中, 我们陈述了极值定理. 它说的是, 如果 f 在 x = c 有

一个局部最大值或局部最小值, 那么 x = c 是 f 的一个临界点. 这表

示, 或者 f' (c) 不存在, 或者 f' (c) = 0.