Page 1369 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

由于分母中的最后一项是 0, 我们证明了商法则.

A.6.5 链式求导法则的证明

假设 y 是 u 的可导函数, 而 u 本身是 x 的可导函数. 我们想要证明

第一眼看上去这也没什么, 可使用 Δ 记号写出

并取极限. 不幸的是, Δu 有时可能为 0, 而这会导致整个等式无效. 因

此, 我们使用函数记号. 令 f 和 g 都是可导的, 并设 h (x) = f (g (x)).

我们想要证明

如果 g 在 x 附近是常数, 那么 h 也是, 因此等式两边都是 0. 否则, 我

们知道

用该分式乘以并除以 g (x + Δx) - g (x), 对于无穷多个在 0 附近的

Δx 值, 这一定是非零的, 然后我们将极限拆分得到