Page 1374 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

让我们来整理另外一个不精确的结果. 在 13.2 节, 我们看到函数 f 关

于 x = a 的线性化 L, 其中 a 是 f 定义域内的某个数：

如果 x 在 a 的附近, 我们可以使用 L (x) 来估算 f (x) 的值. 我们的错

误可能有多大呢？根据 13.2.4 节的公式, 如果 f'' 在 x 和 a 之间存

在, 那么

|误差| = ,

这里的 c 是介于 x 和 a 之间的某个数. 我们来证明这个公式. 首先,

我们称误差项为 r (x); 由于 r (x) 是 f (x) 的真值和猜测值的差, 故猜

测值就是线性化 L (x) = f (a) + f' (a) (x - a). 我们有

现在, 聪明的做法是将 x 固定为一个常数并且令 a 为变量. 由此启发

得到

因此, 只有 t = a 时, 才有误差 r (x). 即, 误差为 g (a). 注意

我们求 g 关于 t 的导数. 项 f (x) 是常数, 故其导数为 0. 此外, 我们需

要用乘积法则来处理 f' (t) (x - t). 总之, 我们得到