Page 1404 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

B.4 近似的误差

做近似 (或估算, 如果你更喜欢这个词) 的意义就是求接近于你要找的

真实量的结果. 如果你真的能够确切地回答这个问题, 你就应该去做,

但有些时候这太难了. 因此, 近似至少可以给你提供接近于真实值的一

个数. 正如我们多次看到的, 特别是当我们讨论线性化以及泰勒级数的

时候 (见 13.2 节及 25.3 节), 还有一个重要的问题：近似有多好呢？

你的近似是至少接近真实值, 还是在四周打转呢？

为了将这个问题量化, 我们再来看看近似中的误差, 它就是真实量和近

似之间的差. 因此, 假设我们使用上述技巧中的一个 —— 均匀划分的

条纹、梯形法则或辛普森法则 —— 来近似积分 . 我们会得到

其中 A 是近似值. 误差的绝对值是

|误差| = .

事实表明, 通过 f 的导数 (如果它们存在), 我们可以对误差大小有些了

解. 在那种情况下, 我们可以设 M 是 |f' (x)| 在 [a, b] 上的最大值. 类
1

似地, 设 M 是 |f'' (x)| 在 [a, b] 上的最大值, 最后设 M 是 |f (4) (x)|
4
2