Page 204 - 普林斯顿微积分读本（修订版） (图灵数学·统计学丛书)

将 x = -1 代入上式求解得到结果为 -2. 为什么可以这样做？这似乎与

之前所说, 上述极限的值与在 x = -1 处发生的情况无关, 仅仅与在 x

= -1 附近的情况有关这一点相矛盾. 这里就轮到连续性派上用场了：

2
它将 “附近的” 与 “在” 联系了起来. 特别是, 如果令 f (x) = (x -3x
+ 2) / (x - 2), 那么由于分子和分母都是多项式, 除了在分母为 0 的点

外, f 是处处连续的. 也就是说, 除了在 x = 2 处, f 是处处连续的. 因

此, f 在 x = -1 上是连续的, 这就意味着,

用其定义替换 f , 有

这就是完整的解. 在实践中, 很少有数学家会不厌其烦地把这些细节都

写出来, 但这样做会有助于你理解你在做什么!

5.1.4 介值定理

知道一个函数是连续的会有很多好处. 我们将看看其中两个好处. 第一

个被称为介值定理. 其基本思想是：假设一个函数 f 在一个闭区间 [a,

b] 上连续. 此外, 假设 f (a) < 0 且 f (b) > 0. 因此, 在 y = f (x) 的

图像上, 点 (a, f (a)) 位于 x 轴的下方, 而点 (b, f (b)) 位于 x 轴的上

方, 如图 5-4 所示.